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Die Falte. Kleine Studie zum heuristischen Wert einer komplexen Raum-Figur zwischen Mathematik und Kulturwissenschaft

von | Apr 13, 2020 | 0 Kommentare

Mannigfaltigkeit, Vielfalt, Innen und Aussen, Vielfältigkeit, Textilfalte, Hautfalte, Erdfalte, Luftfalte, Stofffalte, fold/folding, entfalten, Einfalt …

Die Falte war mir mit ihren besonderen Eigenschaften als eine Denkfigur in meinen früheren Arbeiten zum Verhältnis von Mathematik und Kultur – und hier besonders im Zusammenhang mit komplexitätstheoretischen Überlegungen – immer wieder einmal begegnet. Da war sie nun wieder. Bei meinem Versuch, die Neuordnungen von Grenzen von Natur(en) und Kultur(en), Biologie und Informatik, Mensch-Tier-Maschine im Forschungsfeld der Digitalisierung in der Landwirtschaft visuell zu denken, entstand sie unweigerlich auf meinem Poster. Diesmal angeregt durch den Verweis in Anne Dippels Vortrag darauf, wie Michel Foucault die Falte gedacht hatte.

Nicht-Existenz…Ubiquität…

„Das digitale Bild gibt es nicht.“ (Pias 2003) Den Einstieg in einen Workshop zur Bildtheorie habe ich mir anders vorgestellt. Den Gegenstand infrage zu stellen, fand ich überraschend, zumal Kunsthistorikerin Inge Hinterwaldner zugleich die These der „Ubiquität von Visualisierungen“ als Einstieg formulierte. Dass dieser Widerspruch keiner ist, eröffnete sich mir erst im Laufe unserer Diskussionen dieser Winterschool. Diese zeigten, wie wir alle sehr unterschiedliche Begriffe von Visualisierungen haben, seien sie alltagsweltlich, aus unseren Feldforschungen, oder bereits für unsere Forschungen theoretisch konzeptualisiert. Eine unserer Aufgaben des Workshops war die zeichnerische Beantwortung der Frage, was wir jeweils unter einem digitalen Bild verstehen. Auch Claus Pias, so wurde im Anschluss deutlich, negiert nicht die Existenz des digitalen Bildes an sich, vielmehr geht er der Frage nach den Eigenschaften der Materialität digitaler Bilder nach. Inge Hinterwaldner griff in ihrem Vortrag Frieder Nakes (2008) Begriff des digitalen Bildes auf, das er getrennt in Surface, Interface und Subface konzeptualisiert. Es sind Zusammenhänge und Relationen, die in diesen Begriffen als Schichten gedacht werden und in unserer anschließenden Diskussion beschäftigt uns vor allem das Interface in seiner wechselhaften Gestalt. Dass diese Momente des „Dazwischen“ für alle Teilnehmenden unserer Winterschool von Bedeutung sind, trat bei unserer zeichnerischen Aufgabe, sowie im Extrahieren und Neu-Zusammenfügen unserer Poster-Elemente zutage. Da stellten sich Fragen wie: Was sind Mensch-Technik-Zusammenhänge? Welche Rolle spielen Screens? Wie und wo in unseren Forschungen wird „display“ relevant? Wo fangen Körper an, wo hören sie auf? Wie nah und wie fern sind Elemente, Beobachter_innen und Situationen zueinander?

Michel Foucault die Falte

Quelle BildFoucaults Diagramm“, in: Gilles Deleuze: Foucault, Frankfurt a. M.: Suhrkamp 1987 [1986], S. 169.

Ich beschloss, ihrem heuristischen Potential genauer nachzugehen. In den Texten, die ich dazu sichtete, wurde zunächst die breite Spanne der Stichworte deutlich, die mit der Falte verbunden sind: Mannigfaltigkeit, Vielfalt, Innen und Aussen, Vielfältigkeit, Textilfalte, Hautfalte, Erdfalte, Luftfalte, Stofffalte, fold/folding, entfalten, Einfalt, Multiplizität…

Mein Interesse am Verhältnis von Mathematik und Kultur führte mich zu einem an Kulturtechniken interessierten Mathematiker, der feststellte

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«… falten und Falte [sind] zunächst keine mathematischen Begriffe, sie sind aber auch aus mathematischer Sicht interessant.»

«Das Wort leitet sich aus einer indogermanischen Wurzel ab, zu der auch das lateinische ‘plicare’ – falten und das spätere ‘plica’ – Falte gehört, was uns durch ‘implizit’ gefaltet und ‘explizit’ – entfaltet vertraut ist. ‘Falte’ bezeichnet zunächst nicht nur ein flächiges Objekt, sondern etwa auch die zusammengefaltete Schlange, die wir, idealisiert, als krumme Linie ansprechen müssen. Im heutigen Sprachgebrauch wird damit besonders die Faltung der DNA und der meisten Proteine assoziiert, sowohl der jeweiligen (mikro)biologischen Funktion wegen wie auch, besonders im Fall der DNA, wegen der kaum vorstellbaren Geschwindigkeit der zahllosen Faltungs- und Entfaltungsmöglichkeiten. Die vermutliche Grundbedeutung von falten kann man formulieren als etwas ohne Zerstörung dicht zusammenfügen, so dass einzelne Bestandteile nicht mehr sichtbar sind. Damit entsteht eine Dichotomie: das Falten ist vorteilhaft, zum Beispiel um Dinge raumsparend zu verstauen oder – beispielsweise bei Schlangen – um den Energieverlust, der durch die Abstrahlung der Körperwärme entsteht, zu minimieren; das Falten ist aber hinderlich, wenn man alle Bestandteile eines Ganzen rasch überblicken will. Viele Metaphern belegen dies: Dem Zwiefalt folgt Zweifel, das implizite Wissen der Natur und insbesondere des Menschen zu explizieren ist daher Aufgabe der Wissenschaft. Die Vielfalt ist oft positiv besetzt, insbesondere in aktuellen Diskussionen, und hat die Einfalt als Gegenpol; der Vielfalt (oder Faltmagen: so im Grimmschen Wörterbuch) ist der Blättermagen des Rindes und steht wegen seiner Komplexität auch für unübersehbare Strukturen, deren Entfaltung vielleicht nicht gelingt.

In der Mathematik führte Gauss als Grundschüler eine erste Faltung ein: die langweilige Aufgabe, die Zahlen 1 bis 100 zu addieren, löste er wie folgt. Er stellte sich die Zahlen als Kugeln (mit gleichem Abstand) an einer Schnur vor, mit 1 am Anfang und 100 am Ende. Dann faltete er die Kette so, dass 1 und 100 zusammenfallen, damit auch 2 und 99, 3 und 98 und so fort. Die Summen dieser Zahlen ergeben nun immer 101 und es gibt genau 50 solcher Paare: also ist die Gesamtsumme gleich 50×100 = 5050. Diese Idee lässt sich (im Wortsinn) vielfältig in der Mathematik anwenden.

Tatsächliche und allgegenwärtige Falten entstehen in Stoffen und vor allem in der Kleidung; dafür haben sich die Bildhauer und Maler seit je sehr interessiert, weil deren Konstruktion nicht unproblematisch ist. Die Falte eines Kleides aus schwerem Stoff ist im Stehen zumeist nicht sichtbar, aber im Sitzen entsteht aus einem fast ebenen Ursprungspunkt ein Tal, wo der Blick – wie der Wanderer im Gebirge – die Wahl hat: auf einem der beiden nach links oder rechts führenden Höhenwege weiterzugehen oder den steilen Weg ins Tal zu nehmen. Die Trennung der Höhenwege (eine Bifurkation) ist das mathematisch interessante Phänomen, das zu einem weitverzweigten Theoriegebäude geführt hat, das heute ganz überwiegend in Englisch formuliert wird, und statt der Falte die Worte fold, folding, unfolding etc. verwendet. Dabei bleibt die fold, trotz unterschiedlicher Präzisionen, doch immer auch ein ‘Container-Begriff’, wie in der Umgangssprache. Die mathematischen Entwicklungen dieser Theorien können im vorliegenden Rahmen nicht weiter ausgeführt werden; es soll genügen festzustellen, dass diese Theorie unser Verständnis des dynamischen Geschehens in Raum und Zeit außerordentlich vertieft hat.»

Quelle: Jochen Brüning: Linie, Fläche, Raum – und Falte. Reflexionen eines Mathematikers. In: Dorsch, Sebastian/Vinzent, Jutta (2018) SpatioTemporalities on the line: representations – practices – dynamics. De Gruyter Oldenbourg, S. 43-61

 

Anregungen im Bezug auf die Materialität der Falte erhielt ich vor allem  durch Überlegungen, welche

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Bücher als Räume des Faltens verstehen.

 

Wie in einem Buch sind auch in einem Fotoalbums Geschichten und Bezüge eingefaltet, hier zudem getrennt durch ein anders strukturiertes Pergament, das das Zusammenwirken der unterschiedlichen Texturen weiter verkompliziert.

«Die Falte unterläuft die Opposition zwischen Flachheit und Körperhaftigkeit. Die Muster der Buchmaterialien zeigen Ein- und Ausfaltung, Einschlüsse und ein verschlungenes Drunter und Drüber textiler und zellularer Verwebungen. Die Tatsache, dass textile Gewebe nicht eigentlich flach sind, sondern räumlich, da die Fäden vor- und zurücktreten, wird im Diskurs um die Flachheit des Ornamentalen vernachlässigt.»

Quelle: Wiedemeyer, Nina (2013): Buchfalten Material, Technik, Gefüge der Künstlerbücher. Diaphanes, S. 118

«Etymologisch sind falten, flechten und weben verwandt; Geometrie und Sprache gehen ineinander über, Text, Textur und Textil erweisen sich als zusammengehörig. So lassen sich auf dem topologischen Feld Nachbarschaften artikulieren, die gleichermaßen ästhetisch-plastisch wie metaphorisch traditionelle Oppositionen und Ausschlüsse überschreiten.»

Quelle: https://www.campusnet.hfbk-hamburg.de/scripts/mgrqispi.dll?APPNAME=CampusNet&PRGNAME=COURSEDETAILS&ARGUMENTS=-N000000000000001,-N000414,-N0,-N367483640966206,-N367483640940207,-N0,-N0,-N0

Schon bis zu diesem Punkt wird deutlich, wie die Falte kulturtheoretisch dazu beitragen kann, komplexe Strukturen sichtbar und verstehbar zu machen. Kulturtheoretisch ist weiterhin interessant, dass «[s]tatt nach dem Wesen und nach realen Trennungen zu forschen, was die Fülle der Erscheinungen terrorisieren würde, […] Denker wie Foucault, Derrida, Lyotard, Serres und Deleuze nur mehr nach Unterscheidungen des

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Mannigfaltigen

«Mannigfaltige (das), Mannigfaltigkeit (lat. varietas; ital. varietà, moltiplicità; frz. multiplicité; engl. multiplicity, variety). Der deutsche Terminus ‹Mannigfaltigkeit› (Mk.), umgangssprachlich in der Bedeutung von Verschiedenheit, Buntheit und Vielartigkeit verwendet, ist, obwohl der Sache nach bereits in der griechischen und lateinischen Philosophie nachweisbar, ursprünglich kein philosophischer Begriff, sondern ein altes gemeingermanisches Wort (ahd. managfalt, mhd. manicfalt oder auch manicvalt), das im hochdeutschen Sprachgebiet Vereinzelung und Individualisierung in einer Vielheit ausdrückt. Im philosophischen Sprachgebrauch meint der Begriff ‹Mk.› im weitesten Sinne. Verschiedenheit in einer mehr oder weniger ähnlichen Mehrheit. Als Terminus der theoretischen Philosophie verweist ‹Mk.› auf den Begriff der Einheit. Grundintention aller sich als systematische Philosophie begreifenden Theorie der Erkenntnis war von jeher der Zusammenschluß (Synthesis) eines ungeordneten, struktur- und bestimmungslosen Mannigfaltigen (M.) zur begrifflich bestimmten Einheit.

Wenn auch, philosophiegeschichtlich betrachtet, zunächst die Differenz von Einheit und Vielheit als Prinzipien des Seienden, d.h. die Frage nach der Möglichkeit des Überganges von dem Einen zum Vielen, im Vordergrund stand, so gewann der Begriff ‹Mk.› doch erst durch die neuzeitliche erkenntnistheoretische Wende vom ursprünglich in der klassisch-metaphysischen Lehre vom Hervorgang des Vielen aus dem Ur-Einen lokalisierbaren Begriffspaares ‹Einheit – Vielheit› zu dem von ‹Einheit – Mk.› seine eigentümliche, das Ursprungsproblem der Sinnlichkeit und damit die fundamentale Voraussetzung des Empirismus bezeichnende Bedeutung.»

Quelle: Historisches Wörterbuch der Philosophie online 10.24894/HWPh.2358, Klaus Konhardt, https://www.schwabeonline.ch/schwabe-xaveropp/elibrary/start.xav?start=%2F%2F*%5B%40attr_id%3D%27verw.mannigfaltige.mannigfaltigkeit%27%5D

nach Fluchtlinien und Intensitäten [suchten].»
Quelle: https://www.faz.net/aktuell/feuilleton/buecher/rezension-sachbuch-die-falten-des-geistes-11303487.html

Neben dem Mannigfaltigen ist auch die Faltung als Vorgang von erkenntnistheoretischem Interesse. Wie etwa

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Zeit als Faltung bei Michel Serres

Quelle Bild: Lisa Malich, https://dx.doi.org/10.13095/uzh.fsw.fb.74).

«In einer Interviewreihe nach seiner methodologischen Vorgehensweise gefragt, bei der er oft sehr unmittelbar wissenschaftliche Konzepte aus den verschiedensten historischen Epochen und geistesgeschichtlichen Traditionen nebeneinander stellt, positioniert Serres sein Konzept als Gegenmodell zu einem linearen Modell von Zeit und Erkenntnisfortschritt. Stattdessen entwirft er Zeit als Faltung, ‘a kind of crumpling, a multiple, foldable diversity’. Zur Veranschaulichung verwendet Serres das Bild eines Taschentuches: Liegt das Tuch glatt gestrichen auf einem Tisch, so lassen sich verschiedene Punkte auf ihm markieren und deren Abstand zueinander genau bemessen. Wird das Taschentuch nun aber gefaltet oder zerknittert, sind vorher weit entfernte Punkte plötzlich nah und berühren einander. Serres topologisch ausgerichtete Vorstellung von gefalteter Zeit spiegelt sich auch in seiner Betrachtung historischer Epochenbildung, Wissensgeschichte und vor allem der Konstitution neuer Wissenskonzepte. […] : ‘every historical area is likewise multitemporal, simoultaneously drawing from the obsolete, the contemporary, and the futuristic. An object, a circumstance, is thus polychronic, multitemporal, and reveals a time that is gathered together, with multiple pleats’.

Auf diese Weise sind Kontinuitäten und rekurrierende Elemente als Berührungen, Überlappungen und Faltungen zu theoretisieren, ohne das Konzept einer kontinuierlichen und eindimensionalen Zeitlichkeit adaptieren zu müssen. Dabei wird jedoch auch der Blick auf Diskontinuitäten verändert, die nun als faltungsbedingte Verschiebungen, Kanten und Unterteilungen zu denken sind. Anders als die Figur des Bruchs, die eine klare, abgeschlossene Trennung impliziert, verdeutlicht hier die Figur der Faltung, dass verschiedene Elemente, diskontinuierliche wie kontinuierliche, weiter in Verbindung miteinander stehen.»

Quellen: http://www.fsw.uzh.ch/foucaultblog/essays/74/die-zeit-von-bruch-und-faltung-anschluesse-zwischen-foucault-und-serres
Michel Serres, Bruno Latour. Conversations on science, culture, and time. Ann Arbor. 1995. S. 59.

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Oder Faltung als operative Funktion bei Gilles Deleuze.

«…die ins Unendliche gehende Falte ist keine Wesensbestimmung. Der Begriff verweist vielmehr auf eine operative Funktion, mit der sich philosophisch arbeiten läßt. Deleuze wäre nicht der Denker der Differenz, rekonstruierte und erläuterte er einfach Leibniz‘ Denken: Er sucht es vielmehr im Nachvollzug seiner Wendungen und Krümmungen, seiner Einstülpungen und Auswölbungen zu entfalten, wieder zusammenzufalten, erneut zu falten, Falte auf Falte. So entsteht ein Denken in Umwegen, ein Denken, das die Arbeit des Begriffs als Erforschung des Geschäfts der Draperie betreibt.

Deleuze entfaltet […] die Leibnizsche Metaphysik, um in ihr ein Sprungbrett zu finden, von dem aus der Absprung zu einer nicht an Einheit orientierten Bestimmung der Mannigfaltigkeit durch ein Denken der Vielfältigkeit möglich wird. Die Faltung wird dabei zu einer Operation oder Konstruktion, die sich auf jeder Ebene, auf jedem Plateau, reproduziert. In einem Interview, das Deleuze nach Erscheinen des Buches in Frankreich gab, sagte er: ‘Alles faltet sich, entfaltet sich, faltet sich wieder neu bei Leibniz, man nimmt in den Falten wahr, und die Welt ist in jeder Seele gefaltet, die selbst wieder diese oder jene Region der Welt entfaltet, gemäß der Ordnung von Raum und Zeit (Harmonie).’

Quellen:
https://www.faz.net/aktuell/feuilleton/buecher/rezension-sachbuch-die-falten-des-geistes-11303487.html
Gilles Deleuze: „Die Falte“. Leibniz und der Barock. Übersetzt von Ulrich Johannes Schneider. Suhrkamp Verlag, Frankfurt am Main 1995.

Wie dies in seiner Abstraktion nicht nur gedacht, sondern auch visualisiert werden kann, dafür lassen sich Anregungen sowohl in der Mathematik als auch in der Biologie finden.

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Komplexe Mannigfaltigkeit der Dimension eins

Quelle Bild: https://www-m3.ma.tum.de/foswiki/pub/M3/Software/FTCriemannFlaeche/sqrtRiemann2.png. Mit freundlicher Genehmigung.

«Riemannsche Flächen: Eine riemannsche Fläche ist im mathematischen Teilgebiet der Funktionentheorie (engl. complex analysis) eine eindimensionale komplexe Mannigfaltigkeit. Riemannsche Flächen sind die einfachsten geometrischen Objekte, die lokal die Struktur der komplexen Zahlen besitzen. Benannt sind sie nach dem Mathematiker Bernhard Riemann. Die Untersuchung von riemannschen Flächen fällt in das mathematische Gebiet der Funktionentheorie und hängt wesentlich von Methoden der algebraischen Topologie und algebraischen Geometrie ab.»

Quelle: https://de.wikipedia.org/wiki/Riemannsche_Fl%C3%A4che

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Falten in der Nanotechnologie: DNA-Origami

«Die Einführung der DNA‐Origami‐Technik hat den Entwurf und die Herstellung von nanoskaligen DNA‐Objekten stark vereinfacht. Die Selbstorganisation eines DNA‐Origamis ist ein Prozess, durch den ein langes, zirkuläres DNA‐Einzelstrangmolekül (häufig aus dem Phagen M13mp18) unter Verwendung einer Vielzahl von kurzen Helfersträngen in praktisch jede gewünschte Form gefaltet werden kann. Dieser Ansatz ermöglicht die problemlose Herstellung von Objekten mit einer adressierbaren Oberfläche von der Größe einiger tausend Quadratnanometer. Dies entspricht einer “Pixel”‐Auflösung von etwa 6nm. Gleichzeitig ist der Herstellungsprozess schnell, stellt keine hohen Anforderungen an die experimentellen Bedingungen und führt zu einer hohen Ausbeute der gewünschten Struktur. Diese Eigenschaften machen die DNA‐Origami‐Technik in der strukturellen DNA‐Nanotechnologie zur Methode der Wahl, wenn zwei‐ und dreidimensionale DNA‐Objekte hergestellt werden sollen.»

Quelle: Saccà, Barbara/ Niemeyer M.Christof (2012): DNA-Origami: die Kunst, DNA zu falten.
https://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/ange.201105846 
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